Der Satz des Thales

Erst ziehen

Am ersten Brett hängen drei Griffe. A und B drehen den Durchmesser, C läuft auf dem Kreis. Schieb C dicht an A heran, bis das Dreieck ganz schmal wird, und sieh dabei auf die Zeile Winkel bei C (γ): Sie zeigt weiter 90,0°. Was sich verschiebt, sind α und β — der eine wächst um genau das, was der andere verliert. Unter dem Brett steht die Satz-Zeile und rechnet beides gegeneinander auf.

Auffällig ist noch etwas: Die Zeile MA, MB, MC zeigt dreimal denselben Wert, egal wie du ziehst. Das sind die drei Radien, und genau daran hängt der Beweis im nächsten Schritt.

Warum der Winkel nicht ausweicht

Der Beweis steht auf einem Satz, den man selten hinterfragt: In jedem Dreieck ergeben die drei Innenwinkel zusammen 180°. Zieh am zweiten Brett die Ecken herum, so schief und so spitz du willst — die Satz-Zeile bleibt bei 180,0°.

Damit geht der Beweis in vier Zeilen. Sei M der Mittelpunkt des Kreises über AB.

1. $MA = MB = MC$, denn alle drei sind Radien.
2. Also ist AMC gleichschenklig: Bei A und bei C liegt derselbe Winkel $\alpha$. Dasselbe gilt für BMC mit dem Winkel $\beta$.
3. Im Dreieck ABC steht damit bei A der Winkel $\alpha$, bei B der Winkel $\beta$ und bei C die Summe $\alpha + \beta$.
4. Die Winkelsumme sagt $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$, und daraus folgt:

Nebenbei fällt aus Zeile 1 noch ein zweiter Satz heraus: $MC$ ist so lang wie $MA$, also halb so lang wie AB. Die Verbindung vom rechten Winkel zur Mitte der Hypotenuse misst immer die halbe Hypotenuse.

Rechnen im Halbkreis

Weil der Winkel bei C ein rechter ist, gilt in jedem Halbkreis-Dreieck der Satz des Pythagoras — mit dem Durchmesser als Hypotenuse. Das dritte Brett zeigt ihn für sich allein: Zieh an A und B, und die beiden Kathetenquadrate zusammen behalten dieselbe Fläche wie das große Quadrat über der Hypotenuse.

Die Startlage ist das bekannteste Beispiel: 3 cm und 4 cm ergeben 9 cm² + 16 cm² = 25 cm², also eine Hypotenuse von genau 5 cm. Solche Tripel sind selten — bei 3,7 cm und 4,2 cm kommt eine Hypotenuse heraus, die sich nicht mehr glatt hinschreiben lässt.

Die Umkehrung, und wozu man sie braucht

Bisher lief alles in eine Richtung: C auf dem Kreis, also rechter Winkel. Es gilt auch andersherum. Steht bei C ein rechter Winkel, dann liegt C auf dem Kreis über AB. Alle anderen Lagen ergeben andere Winkel, und zwar geordnet:

Praktisch wird die Umkehrung bei der Tangente. Du hast einen Kreis mit Mittelpunkt M und einen Punkt P außerhalb und sollst die Gerade durch P zeichnen, die den Kreis nur berührt. Im Berührpunkt T steht die Tangente senkrecht auf dem Radius, der Winkel bei T ist also ein rechter. Nach der Umkehrung liegt T damit auf dem Kreis über der Strecke MP. Schlag diesen Kreis, und wo er den ursprünglichen Kreis schneidet, liegen die beiden Berührpunkte.

Zum Prüfen taugt der Satz genauso. Miss von einer Ecke aus auf beiden Schenkeln je einen Punkt ab und schlag den Kreis über der Verbindung dieser beiden Punkte: Geht er durch die Ecke, ist der Winkel dort ein rechter.

Der Name geht auf Thales von Milet zurück, überliefert ist die Zuschreibung allerdings erst in Quellen, die Jahrhunderte jünger sind als er. Der Beweis über die beiden gleichschenkligen Teildreiecke steht bei Euklid im dritten Buch der Elemente.