Das Pendel

Erst anfassen

Vier Regler, eine Kugel. Zieh am Masse-Regler, während das Pendel läuft: Die Kugel wird größer und schwerer, der Takt bleibt derselbe. Was sich ändert, ist die Energie — die steht rechts daneben und wächst mit der Masse.

Die Länge dagegen ändert den Takt sofort. Und der Regler für g ist die Reise: Bei 1,62 m/s² hängt dasselbe Pendel am Mond und schwingt rund zweieinhalbmal so langsam.

Die Kraft quer zum Seil

Sieh dir die Kugel im Umkehrpunkt an, 30° ausgelenkt. An ihr hängt die Gewichtskraft $G$, senkrecht nach unten: bei 1 kg und $g \approx 10\,\mathrm{m/s^2}$ also 10 N. Ein Seil kann nur in seine eigene Richtung ziehen, nie quer dazu. Es nimmt deshalb genau den Teil des Gewichts auf, der am Seil entlang zieht: $G \cdot \cos 30^\circ = 8{,}66$ N.

Was übrig bleibt, kann das Seil nicht halten. Dieser Rest zeigt quer zum Seil, tangential zum Bogen, und er ist die Rückstellkraft.

In der Szene ist die Seilkraft $S$ noch zu kurz. Zieh ihre Spitze am Seil entlang, bis die Resultierende im grünen Ziel liegt — $G$ lässt du, wie es ist.

Die Resultierende hat dann den Betrag 5 N, und das ist kein Zufall: $10\,\mathrm{N} \cdot \sin 30^\circ = 5\,\mathrm{N}$. Allgemein gilt

und weil diese Kraft dieselbe Masse beschleunigen muss, die sie erzeugt:

Die Formel

Bei kleinen Ausschlägen ist $\sin\theta$ praktisch gleich $\theta$ (im Bogenmaß). Die Auslenkung entlang des Bogens ist $s = L \cdot \theta$, also wird aus $a = g \cdot \sin\theta$

Das Minus heißt: Die Beschleunigung zeigt immer zurück zur Ruhelage. Eine Beschleunigung, die proportional zur Auslenkung ist und ihr entgegenzeigt, ergibt eine harmonische Schwingung mit $\omega = \sqrt{g/L}$. Daraus die Umlaufzeit:

Kein $m$ in der Zeile, und auch keins, das sich vorher hätte verstecken können. Ein Pendel von 0,994 m Länge braucht auf der Erde genau 2 s pro Schwingung — die alte Sekundenpendel-Definition, ein Sekundenschlag je halber Schwingung.

Wo die Näherung endet

$\sin\theta \approx \theta$ ist eine Näherung, und sie wird mit wachsendem Ausschlag schlechter: $\sin 60^\circ$ ist 0,87, das Bogenmaß von 60° dagegen 1,05. Die Rückstellkraft bleibt also hinter dem zurück, was die lineare Rechnung annimmt — das Pendel braucht länger.

Die Szene startet hier mit 60°. Sie rechnet die Bewegung ohne Näherung, deshalb stehen rechts zwei Perioden: die genäherte und die tatsächliche.

Bei 60° liegt die Näherung rund 7 % daneben, bei 5° sind es 0,05 %. Für eine Pendeluhr ist das der Unterschied zwischen brauchbar und unbrauchbar, für die Aussage „die Masse zählt nicht" ändert es nichts.

Gegenprobe und Bilanz

Fällt die Masse immer heraus? Nein. Häng dieselbe Kugel an eine Feder, und der Takt hängt sehr wohl an ihr:

Der Unterschied steckt in der treibenden Kraft. Beim Fadenpendel ist sie die Gewichtskraft und damit selbst proportional zur Masse. Die Feder dagegen zieht mit $F = -k \cdot x$; wie schwer das Ding an ihrem Ende ist, weiß sie nicht. Eine schwerere Masse wird also von derselben Kraft träger bewegt — und die Schwingung wird langsamer.

Beim schiefen Wurf ist die treibende Kraft wieder das Gewicht, und prompt kürzt sich die Masse erneut weg: Weite, Steighöhe und Flugzeit hängen nur an Abwurfgeschwindigkeit und Winkel. Ein Tennisball und eine Bowlingkugel fliegen dieselbe Bahn, wenn man den Luftwiderstand weglässt.