Vom Nullpunkt zum Differenzierer

Spannung ist immer ein Unterschied

Eine Spannung gibt es nie an einem Punkt, sondern immer zwischen zwei Punkten — genau wie ein Höhenunterschied. Wenn trotzdem jemand sagt „am Ausgang liegen −3 V", dann ist der zweite Punkt stillschweigend mitgemeint: die Masse.

Masse ist nichts physikalisch Besonderes. Sie ist einfach der Punkt, den wir zum Nullpunkt erklären — so wie der Meeresspiegel für Höhenangaben. Alle Masse-Symbole in einer Schaltung sind ein und derselbe Knoten. Sie sind miteinander verbunden, auch wenn keine Leitung dazwischen eingezeichnet ist.

Warum die Masse beim OPV in der Mitte liegt

Ein OPV wird mit zwei Spannungen versorgt, typisch +15 V und −15 V. Die Masse ist genau der Mittelpunkt dazwischen. In Schaltplänen werden diese Versorgungsanschlüsse fast immer weggelassen — der OPV ist trotzdem versorgt. Der Ausgang kann dann jeden Wert zwischen den beiden Grenzen annehmen. Eine negative Ausgangsspannung heißt nur: „unterhalb der Masse", und die −15-V-Versorgung ist der Grund, warum das überhaupt geht.

Was der OPV eigentlich tut

Der OPV hat zwei Eingänge und einen Ausgang. Er misst die Differenz zwischen seinen beiden Eingängen und verstärkt sie um einen absurd großen Faktor:

Beispiel: Zwischen den Eingängen liegt nur 1 mV Unterschied. Der OPV will daraus 100 V machen — kann er aber nicht, mehr als die Versorgung geht nicht. Also klebt der Ausgang am Anschlag, bei +15 V oder −15 V.

Für sich allein ist der OPV also ein Vergleicher, der nur „größer" oder „kleiner" ausgeben kann. Interessant wird er erst durch den nächsten Schritt.

Gegenkopplung und die zwei Regeln

Jetzt verbinden wir den Ausgang über einen Widerstand mit dem Minus-Eingang. Das heißt Gegenkopplung, und es verändert alles. Gedankenexperiment:

1. Angenommen, $U_-$ liegt ein winziges bisschen über $U_+$.
2. Dann wird $(U_+ - U_-)$ negativ, und der Ausgang rennt kräftig ins Negative.
3. Über den Rückkopplungswiderstand zieht der negative Ausgang $U_-$ nach unten — die Differenz schrumpft wieder.

In die andere Richtung passiert dasselbe spiegelverkehrt. Die Schaltung findet von allein den Punkt, an dem beide Eingänge gleich sind — bis auf Mikrovolt. Das ist ein Regelkreis: Der OPV stellt seinen Ausgang genau so ein, dass seine beiden Eingänge gleich werden. Was auch immer er dafür am Ausgang machen muss, macht er.

Daraus folgen die zwei Regeln, mit denen du ab hier jede OPV-Schaltung ausrechnen kannst. Der Faktor 100 000 kommt nie wieder vor.

Die virtuelle Masse

In allen Schaltungen, um die es hier geht, liegt der Plus-Eingang an Masse. Also ist $U_+ = 0$ V. Regel 2 sagt dann: $U_- = 0$ V. Der Minus-Eingang liegt auf Masse-Niveau.

Aber: Es gibt keinen Draht vom Minus-Eingang zur Masse. Und nach Regel 1 fließt auch kein Strom in den OPV hinein. Der Knoten am Minus-Eingang hat also 0 V wie Masse, schluckt aber keinen Strom, anders als Masse. Deshalb der Name virtuelle Masse.

Und was für ein Bauteil im Rückkopplungszweig sitzt, entscheidet, was die Schaltung tut. Widerstand: Verstärker. Kondensator: Integrierer. Das ist schon der ganze Rest.

Invertierender Verstärker

Die einfachste Schaltung, an der man das Prinzip einmal durchrechnet. Alles Weitere sind Varianten davon. Die Punkte sind der Strom; stell unten Ue ein und schau, was passiert.

Strom durch R₁. Links liegt $U_e$, rechts liegt die virtuelle Masse mit 0 V. Über R₁ fällt also genau $U_e$ ab: $I = U_e / R_1$.

Derselbe Strom durch R₂. Er kann nirgendwo anders hin. Über R₂ fällt daher $I \cdot R_2$ ab.

Ausgangsspannung. Die linke Seite von R₂ liegt auf 0 V. Damit der Strom von dort zum Ausgang fließt, muss der Ausgang tiefer liegen als 0 V — deshalb das Minuszeichen:

Die Verstärkung hängt nur vom Verhältnis der beiden Widerstände ab, nicht mehr vom OPV selbst. Das ist der ganze Sinn der Gegenkopplung. Und wenn du Ue oben negativ machst, drehen die Punkte um: Der Strom fließt dann vom Ausgang in den Knoten und zum Eingang hinaus — der Ausgang muss über 0 V liegen.

Addierer

Mehrere Eingänge, jeder mit eigenem Widerstand, alle am selben Knoten — der virtuellen Masse. Sonst ändert sich nichts.

Jeder Eingang sieht am Knoten 0 V — egal, was die anderen Eingänge tun. Deshalb ist jeder Strom nur von seiner eigenen Spannung abhängig: $I_1 = U_1/R_1$, $I_2 = U_2/R_2$ und so weiter. Am Knoten addieren sich die Ströme (Kirchhoff), und die Summe fließt durch R:

Sind alle Widerstände gleich, bleibt schlicht $U_a = -(U_1 + U_2 + U_3)$. Das Minus ist wieder nur das Vorzeichen des Invertierers; ein zweiter Invertierer dahinter dreht es bei Bedarf zurück.

Der Kondensator – der einzige neue Baustein

Für Integrierer und Differenzierer brauchst du genau eine Sache über Kondensatoren:

Stell dir den Kondensator als Eimer vor. Der Strom ist der Wasserzufluss, die Spannung ist der Füllstand. Dann sind die drei Regeln, die du brauchst, offensichtlich:

| Wenn … | … dann | Eimer | |---|---|---| | die Spannung konstant ist | fließt kein Strom | Füllstand ändert sich nicht → kein Zufluss | | die Spannung sich schnell ändert | fließt viel Strom | Füllstand steigt rasant → kräftiger Zufluss | | ein konstanter Strom fließt | steigt die Spannung gleichmäßig (linear) | gleichmäßiger Zufluss → Füllstand steigt wie eine Gerade |

Die dritte Zeile ist dieselbe Formel, nur andersherum gelesen: Wenn der Strom bekannt ist, ist die Spannung die Aufsummierung (das Integral) des Stroms über die Zeit.

Integrierer

Nimm den invertierenden Verstärker und ersetze R₂ durch einen Kondensator. Der Eingang bleibt ein Widerstand.

Strom am Eingang wie gehabt: $I = U_e / R$, weil rechts vom Widerstand 0 V liegen. Dieser Strom lädt den Kondensator — er kann ja nirgendwo anders hin. Die Spannung über C wächst also mit der Aufsummierung des Stroms (dritte Zeile der Tabelle). Ausgang: Die linke Platte von C liegt auf 0 V, also ist $U_a$ gleich minus der Kondensatorspannung:

Anschaulich: Legst du eine konstante Spannung an, fließt ein konstanter Strom, und der Ausgang läuft gleichmäßig weg — so lange, bis er an der Versorgungsgrenze anschlägt. Der Ausgang ist die „aufsummierte Vergangenheit" des Eingangs.

Differenzierer

Jetzt tauschen wir: Kondensator an den Eingang, Widerstand in die Rückkopplung.

Spannung über dem Kondensator. Links liegt $U_e$, rechts 0 V (virtuelle Masse). Über C liegt also genau $U_e$. Der Strom hängt nicht von $U_e$ ab, sondern davon, wie schnell sich $U_e$ ändert: $I = C \cdot dU_e/dt$. Dieser Strom fließt durch R — wie beim Verstärker, gleiche Begründung. Ausgang — gleiches Vorzeichen-Argument wie immer:

Anschaulich: Konstante Eingangsspannung, egal wie groß — am Ausgang liegen 0 V, weil kein Strom fließt. Eine gleichmäßig ansteigende Rampe am Eingang ergibt eine konstante Ausgangsspannung. Ein Sprung am Eingang ergibt einen kurzen, harten Impuls bis an die Versorgungsgrenze. Der Differenzierer zeigt nur an, wie schnell sich etwas gerade ändert.

Was das mit Regelungstechnik zu tun hat

Ein Regler bekommt die Regeldifferenz $e$ = Sollwert − Istwert und muss daraus eine Stellgröße machen. Der klassische PID-Regler macht das dreifach, und alle drei Teile kennst du jetzt:

• P reagiert auf die Abweichung selbst: groß daneben, kräftig gegensteuern.
• I summiert die Abweichung auf: Eine kleine, aber dauerhafte Abweichung wächst im Integrierer so lange an, bis sie weggeregelt ist.
• D reagiert auf die Änderungsgeschwindigkeit: Wird die Abweichung schnell größer, bremst er früh, bevor P überhaupt viel sieht.

Deshalb kamen ausgerechnet diese Schaltungen im Fach Regelungstechnik dran — und deshalb hieß es Regelungstechnik und nicht Elektronik.

Alles auf einen Blick

| Schaltung | Eingang | Rückkopplung | Ausgang | Ein Satz | |---|---|---|---|---| | Inv. Verstärker | R₁ | R₂ | $-(R_2/R_1) \cdot U_e$ | Strom rein = Strom raus, beide über Widerstände. | | Addierer | R₁ … Rₙ | R | $-R \cdot \sum U_k/R_k$ | Ströme addieren sich am 0-V-Knoten. | | Integrierer | R | C | $-\frac{1}{RC} \int U_e \, dt$ | Der Eingangsstrom lädt den Kondensator auf. | | Differenzierer | C | R | $-RC \cdot dU_e/dt$ | Strom fließt nur, wenn Ue sich ändert. |

Alle vier laufen nach demselben Schema: Strom am Eingang ausrechnen (rechts liegen 0 V) → derselbe Strom durch die Rückkopplung → Ausgang liegt um den Spannungsabfall unter 0 V. Wenn du das einmal gesehen hast, musst du keine der Formeln mehr auswendig lernen.